1) Le résultat de l’enquête en 2005 (pourcentage d’accidents domestiques en 2004) est égal à 5%. L’enquête a été effectuée auprès de n = 2000 personnes. On note p la vraie valeur de cette proportion dont p est une estimation.
On sait que, pour n >100, l’intervalle de confiance d’une probabilité p au niveau de confiance (1 - a)% est l’intervalle :
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[ p - ua [p (1 - p) / n]1/2 , p + ua [p (1 - p) / n]1/2 ] |
expression dans laquelle ua est déduit du niveau de confiance 1 – a (1.96 pour 1 – a = 0.95), p est la proportion observée 0.05, et n la taille de l’échantillon 2000. On en déduit que :
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La proportion vraie est très vraisemblablement comprise entre 0.0404 et 0.0596. |
2) Pour déterminer le pourcentage minimum, on doit rechercher l’intervalle de confiance de la forme
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[ p - ua’ [p (1 - p) / n]1/2 , + µ] |
La valeur ua’ est choisie de façon que la probabilité P ( X < - ua’) soit égale à 0.05, lorsque X soit la loi normale centrée réduite. La table donne comme valeur :
ua’ = 1.6449 » 1.645
Le calcul donne comme résultat :0.0420
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la proportion vraie est très vraisemblablement supérieure à 0.0420 |
3) On demande que l’enquête prévue en 2006 pour estimer ce pourcentage en 2005 donne une fourchette limitée à 1% pour un même niveau de confiance.
On ne peut pas obtenir de certitude, mais simplement une indication de la taille de l’échantillon nécessaire.
La démarche consiste tout d’abord à supposer que le pourcentage de 2005 sera du même ordre que celui de 2004 : p = 0.05. La longueur l de l’intervalle de confiance à 95% est égale à :
l = 2 x ua [p (1 - p) / n]1/2
La valeur ua pour un niveau de confiance de 0.95 est égale à 1.96. On doit donc résoudre l’inégalité :
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l |
< |
0.01 |
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2 x ua [p (1 - p) / n]1/2 |
< |
0.01 |
|
[p (1 - p) / n]1/2 |
< |
0.01 / (2 x ua) |
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p (1 - p) / n |
< |
[ 0.01 / (2 x ua) ]2 |
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p (1 - p) / [ 0.01 / (2 x ua )]2 |
< |
n |
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n |
> |
p (1 - p) / [ 0.01 / (2 x ua )]2 |
On trouve :
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n > 7300 |